Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為（-4，0），（0，3），連接AB．點P在第二象限，若以點P，A，B為頂點的三角形是等腰直角三角形，則點P坐標為（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-3，7）或（-7，4）．

Answer 1

分析 分三種情況分別討論：①當∠APB=90°時，過P作PE⊥x軸，過P作PD⊥y軸，構造全等三角形進行求解；②當∠PBA=90°時，過P作PD⊥y軸于D，構造全等三角形進行求解；③當∠PAB=90°時，過P作PD⊥x軸于D，構造全等三角形進行求解．

解答 解：分三種情況討論：
①如圖所示，當∠APB=90°時，過P作PE⊥x軸，過P作PD⊥y軸，則∠PEA=∠PDB=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠DPE=90°，
又∵∠APD=90°，
∴∠APE=∠BDP，
在△APE和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEA=∠PDB}\\{∠APE=∠BDP}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BDP（AAS），
∴PD=PE=OE=OD，AE=BD，
設PD=PE=OE=OD=a，
又∵A，B兩點的坐標分別為（-4，0），（0，3），
∴AO=4，BO=3，
∵AO-OE=OD+BO，
即4-a=a-3，
解得a=$\frac{7}{2}$，
∴P（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）；

②如圖所示，當∠ABP=90°時，過點P作PD⊥y軸于點D，
∴∠AOB=∠BDP，∠BPD+∠PBD=90°，∠ABO+∠PBD=90°，
∴∠ABO=∠BPD，
在△ABO和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDP}\\{∠ABO=∠BPD}\\{AB=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BPD（AAS），
∴PD=BO=3，BD=AO=4，
則OD=BO+BD=7，
∴P（-3，7）；

③如圖所示，當∠BAP=90°時，過P作PD⊥x軸于D，
∵∠ABO+∠OAB=90°，∠PAD+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠PAD，
在△ABO和△PAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠PAD}\\{∠AOB=∠PDA}\\{BA=PA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△PAD（AAS），
∴AD=OB=3，PD=OA=4，
∴OD=OA+OB=4+3=7，
∴P的坐標為（-7，4）；
綜上所述，點P坐標為（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-3，7）或（-7，4）．
故答案為：（-$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$）或（-3，7）或（-7，4）．

點評 本題主要考查全等三角形的判定與性質及等腰直角三角形的性質，作出輔助線構建全等三角形是本題的關鍵，并注意分類思想的運用．