Question

8．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，坐標原點為點O，△AOB的外心和內(nèi)心之間的距離為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)解析式求出OB、OA，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出內(nèi)切圓的半徑、外心的坐標，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 解：對于y=-$\frac{3}{4}$x+3，
當(dāng)x=0時，y=3，
y=0時，x=4，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=5，
∴△AOB的內(nèi)切圓的半徑=$\frac{3+4-5}{2}$=1，△AOB的外心P在斜邊AB的中點，
則點P的坐標為（2，$\frac{3}{2}$），
作PE⊥x軸于E，IF⊥PE于F，
則IF=1，PF=$\frac{1}{2}$，
∴IP=$\sqrt{I{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心、外接圓和外心，掌握直角三角形的性質(zhì)、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．