Question

11．如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．
（1）求證：GF=GC；
（2）若AB=3，AD=4，求線段GC的長．
（3）我們學過的菱形（填“平行四邊形”、“矩形”或“菱形”）的中點四邊形一定是矩形；矩形（填“平行四邊形”、“矩形”或菱形“）的中點四邊形一定是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接GE，根據(jù)點E是BC的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）設GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進行計算即可得解；
（3）根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，以及對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形進行判斷即可．

解答 解：（1）連接GE，
∵E是BC的中點，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EG}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；

（2）設GC=x=FG，則DG=3-x，
∵AF=AB=3，
∴AG=3+x，
在Rt△ADG中，由勾股定理得，4²+（3-x）²=（3+x）²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
即線段GC的長為$\frac{4}{3}$；

（3）根據(jù)菱形的對角線互相垂直，可知菱形的中點四邊形一定是矩形；
根據(jù)矩形的對角線相等，可知矩形的中點四邊形一定是菱形．
故答案為：菱形，矩形．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，翻折的性質(zhì)以及中點四邊形的綜合應用，找出三角形全等的條件EF=EC是解題的關鍵．解題時注意：對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，以及對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形．