Question

1．在平面直角坐標系中，?ABOC如圖放置，點C的坐標是（-1，0），點A在y軸的正半軸上，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得?A′B′OC′，拋物線y=ax²+bx+4過點C、A、A′，點M是此拋物線的一動點，設點M的橫坐標為m．
（1）求此拋物線的解析式
（2）當M在x軸及其上方的拋物線上時（點M與點A和點A′都不重合），設△AMA′的面積為S，求S與m的函數關系式．
（3）求（2）中S的最大值及此時M的坐標．
（4）若N（t，0）為x軸上的一動點，定點Q坐標為（1，0），以點M、N、B、Q為頂點的四邊形是中心對稱圖形，直接寫出t值．
（5）在（4）中，當以點M、N、B、Q為頂點的四邊形即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形時，直接寫出t值．

Answer 1

分析 （1）求出C（-1，0），A′（4，0）代入y=ax²+bx+4，轉化為方程組解決問題．
（2）如圖1中，分兩種情形①當點M在y軸右邊時，設M（m，-m²+3m+4），根據S=S_△AMO+S_△OMA′-S_△AOA′計算即可．②當點M在y軸的左邊時，設M₁（m，-m²+3m+4），根據S=${S}_{△AO{M}_{1}}$+S_△AOA′-${S}_{△A′O{M}_{1}}$計算即可．
（3）根據（2）中的分段函數，分別求出S的取值范圍，即可判斷．
（4）分兩種情形討論①以點M、N、B、Q為頂點的四邊形是中心對稱圖形，當BQ為邊時，矩形BQN₁M₁，矩形BQN₂M₂是中心對稱圖形，②以點M、N、B、Q為頂點的四邊形是中心對稱圖形，當BQ為對角線時，平行四邊形BM₁QN₃是中心對稱圖形．
（5）利用（4）中的結論即可得出結論．

解答 解：（1）由題意A（0，4），C（-1，0），A′（4，0），
把C（-1，0），A′（4，0）代入y=ax²+bx+4得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y=-x²+3x+4．

（2）如圖1中，

①當點M在y軸右邊時，設M（m，-m²+3m+4），
S=S_△AMO+S_△OMA′-S_△AOA′=$\frac{1}{2}$•4•m+$\frac{1}{2}$•4•（-m²+3m+4）-$\frac{1}{2}$•4•4=-2m²+8m．
②當點M在y軸的左邊時，設M₁（m，-m²+3m+4），
S=${S}_{△AO{M}_{1}}$+S_△AOA′-${S}_{△A′O{M}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•4•（-m）+$\frac{1}{2}$•4•4-$\frac{1}{2}$•4•（-m²+3m+4）=2m²-8m，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2{m}^{2}-8m}&{（-1≤m＜0）}\\{-2{m}^{2}+8m}&{（0＜m≤4）}\end{array}\right.$．

（3）由（2）可知，當-1≤m＜0時，0＜s≤10，
當0＜m≤-4時，0＜S≤8，
∴當m=-1時，S的值最大，最大值為10，此時M（-1，0）．

（4）如圖2中，

①以點M、N、B、Q為頂點的四邊形是中心對稱圖形，當BQ為邊時，矩形BQN₁M₁，矩形BQN₂M₂是中心對稱圖形，此時N₁（3，0），N₂（0，0）．
②以點M、N、B、Q為頂點的四邊形是中心對稱圖形，當BQ為對角線時，平行四邊形BM₁QN₃是中心對稱圖形，此時N₃（-1，0）．
綜上所述，點M、N、B、Q為頂點的四邊形是中心對稱圖形，t值為-1或0或3．

（5）由（4）可知當以點M、N、B、Q為頂點的四邊形即是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形時，t值為0或3．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、三角形的面積、中心對稱圖形、軸對稱圖形等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，考慮問題要全面，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．