Question

6．如圖，直線y=x-3與x軸、y軸分別相交于點A，B，經過A，B兩點的拋物線y=-x²+bx+c與x軸的另一個交點為C．
（1）確定拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線上是否存在點F，連接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求A、B兩點的坐標，利用待定系數法求二次函數的解析式，在令y=0解一元二次方程求方程的解，從而求出點C的坐標；
（2）根據軸對稱的最短路徑找到點E：直線AB與對稱軸的交點即是E點，求直線AB的解析式，再求與對稱軸的交點坐標即可；
（3）分兩種情況計算：點F分別在x軸的上方和下方，根據等角的三角函數列式計算即可．

解答 解：（1）當x=0時，y=3，
當y=0時，x-3=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，-3），
把A（3，0），B（0，-3）代入拋物線y=-x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3，
當y=0時，-x²+4x-3=0，
x₁=1，x₂=3，
∴C（1，0），
（2）y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴P（2，1），
∵C、A關于拋物線的對稱軸對稱，
∴直線AB與對稱軸的交點即為點E，
如圖1，此時EB+EC為最小，
當x=2時，y=2-3=-1，
∴E（2，-1）；
（3）過F作FD⊥x軸于D，
設F（a，-a²+4a-3），
∵∠FAO=∠OBC，∠BOC=∠FDA=90°，
∴△BOC∽△ADF，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{FD}{AD}$，
∵C（1，0），B（0，-3），
∴OC=1，OB=3，
當F在x軸的上方時，如圖1，
得$\frac{-{a}^{2}+4a-3}{3-a}$=$\frac{1}{3}$，
3-a=-3a²+12a-9，
3a²-13a+12=0，
（a-3）（3a-4）=0，
a₁=3（舍），a₂=$\frac{4}{3}$，
∴F（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{9}$），
當F在x軸的下方時，如圖2，
得$\frac{{a}^{2}-4a+3}{3-a}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x₁=3（舍），x₂=$\frac{2}{3}$，
∴F（$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{9}$），
綜上所述，點F的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{9}$）或（$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{9}$）．

點評 本題主要考查待定系數法、軸對稱的最短路徑問題、方程、函數及三角形相似等知識，也考查了綜合運用數學知識、分析問題、解決問題的能力以及數形結合、分類討論的思想，是常考題型，正確運用分類討論是解題關鍵．