Question

17．如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第2個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第3個正方形AEGH，如此下去…，記正方形ABCD的面積S₁=1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S₂，S₃…，S_n，則S_n=（　　）

• A． 2^n-1
• B． 2ⁿ
• C． 2ⁿ⁺¹
• D． 2ⁿ⁺²

Answer 1

分析 根據正方形的性質易得：正方形的對角線是正方形的邊長的$\sqrt{2}$倍；進而根據題意，找到第二個正方形與第一個正方形面積的關系，依此類推，可得第n個正方形S_n的面積．

解答 解：根據勾股定理得：正方形的對角線是正方形的邊長的$\sqrt{2}$倍；
即第二個正方形的面積是第一個正方形面積的2倍，即是2，…
依此類推第n個正方形的面積是上一個正方形面積的2倍，即2×2×2…×2（n-1個2）=2^n-1．
故選A

點評 本題考查正方形的性質，要求學生能夠根據勾股定理得到前后正方形的邊長之間的關系，進一步得到面積之間的關系．從而找到規律．