Question

5．如圖，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=70°，以點O為圓心，6為半徑的優弧$\widehat{MN}$分別交OA、OB于點M，N．
（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉70°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；
（3）設點Q在優弧$\widehat{MN}$上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數．

Answer 1

分析 （1）首先根據已知得出∠AOP=∠BOP′，進而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；
（2）利用切線的性質得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進而得出TH的長即可得出答案；
（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP′}\\{OP=OP′}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；

（2）解：如圖1，連接OT，過點T作TH⊥OA于點H，
∵AT是⊙O的切線，
∴∠ATO=90°，
∴AT=$\sqrt{O{A}^{2}-O{T}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵$\frac{1}{2}$×OA×TH=$\frac{1}{2}$×AT×OT，
即$\frac{1}{2}$×10×TH=$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：TH=$\frac{24}{5}$，即點T到OA的距離為$\frac{24}{5}$；

（3）解：如圖2，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+70°=160°，
當Q點在優弧$\widehat{MN}$右側上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-70°=20°，
綜上所述：當∠BOQ的度數為20°或160°時，△AOQ的面積最大．

點評 本題考查了圓的綜合題、切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質，第二個問題的關鍵是利用面積法求出線段TH，第三個問題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考壓軸題．