Question

11．已知，如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2$\sqrt{3}$．
（1）若點P為圓上一動點（點P不與A、B重合），求∠APB的度數；
（2）若點P為優弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設點A關于直線BP的對稱點為A′：
①當點A′落在圓上時，試判斷點P運動到什么位置？
②若直線BA′與⊙O相切于B點，求BP的長；
③記∠BAP=α，在點P運動的過程中，若線段BA′與優弧APB有兩個公共點，請直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠AOB=120°，分兩種情形當點P在優弧上時，∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，當點P′在劣弧上時，∠AP′B=180°-∠APB=120°．
（2）①如圖2中，結論：當點A′落在圓上時，點P、O、B共線，PB是⊙O直徑．只要證明∠PAB=90°即可．
②如圖3中，連接OA′，只要證明△PAB是等邊三角形即可．
③由①可知，當點A′落在圓上時，如圖2中，∠PAB=α=90°，此時線段BA′與優弧APB有兩個公共點，由②可知，若直線BA′與⊙O相切于B點，如圖3中，∠PAB=α=60°，此時此時線段BA′與優弧APB只有1個公共點，由此即可確定α的范圍．

解答 解：（1）如圖1中，作OH⊥AB于H．

∵OH⊥AB，
∴AH=HB=$\sqrt{3}$，
∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∠AOB=120°，
當點P在優弧AB上時，∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
當點P′在劣弧AB上時，∠AP′B=180°-∠APB=120°，
∴∠APB的度數為60°或120°．

（2）①如圖2中，結論：當點A′落在圓上時，點P、O、B共線，PB是⊙O直徑．

理由：∵A、A′關于PB對稱，
∴∠APB=∠A′PB=60°，
∴∠APA′=120°，∠ABA′=180°-∠APA′=60°，
∵∠PBA=∠PBA′，
∴∠PBA=∠PBA′=30°，
∴∠APB+∠ABP=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是直徑，P、O、B共線．

②如圖3中，連接OA′．

∵BA′是⊙O的切線，
∴∠OBA′=90°，
∴tan∠A′OB=$\frac{A′B}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A′OB=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOB+∠A′OB=180°，
∴A、O、A′共線，
∵AA′⊥PB，
∴∠ABP=60°=∠APB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴PB=AB=2$\sqrt{3}$．

③由①可知，當點A′落在圓上時，如圖2中，∠PAB=α=90°，此時線段BA′與優弧APB有兩個公共點，
由②可知，若直線BA′與⊙O相切于B點，如圖3中，∠PAB=α=60°，此時此時線段BA′與優弧APB只有1個公共點，
∴60°＜α≤90°時，線段BA′與優弧APB有兩個公共點．

點評 本題考查圓綜合題、銳角三角函數、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質、直徑的判定等知識，解題的關鍵是注意一題多解，靈活運用三角函數求出特殊角，是本題的突破點，屬于中考壓軸題．