Question

15．在“感恩節”前夕，我市某學生積極參與“關愛孤寡老人”的活動，他們購進一批單價為6元一雙的“孝心襪”在課余時間進行義賣，并將所得利潤全部捐給鄉村孤寡老人，在試賣階段發現：當銷售單價是每雙10元時，每天的銷售量為200雙，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少20雙．
（1）求銷售單價為多少元時，“孝心襪”每天的銷售利潤最大；
（2）結合上述情況，學生會干部提出了A、B兩種營銷方案．
方案A：“孝心襪”的銷售單價高于進價且不超過11元；
方案B：每天銷售量不少于20雙，且每雙“孝心襪”的利潤至少為10元．
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設銷售單價x元，利潤為w元．由題意w=（x-6）[200-20（x-10）]，利用二次函數的性質即可解決問題．
（2）分別求出兩種方案利潤的最大值，即可判斷．

解答 解：（1）設銷售單價x元，利潤為w元．
由題意w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
∵-20＜0，
∴x=13時，每天的銷售利潤最大，
∴銷售單價為13元時，“孝心襪”每天的銷售利潤最大．

（2）方案A：“孝心襪”的銷售單價高于進價且不超過11元；
∵w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
又∵6＜x≤11，
∴x=11時，w的值最大，最大值為5740元．

方案B：每天銷售量不少于20雙，且每雙“孝心襪”的利潤至少為10元．
∵w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
又∵16≤x≤19，
∴x=16時，w的值最大，最大值為5600元．
∵5740＜5600，
∴方案A的利潤最大．

點評 本題考查了二次函數的應用、一元二次方程的應用等知識，最大銷售利潤的問題常利用函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=$\frac{b}{2a}$時取得．