Question

6．如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面積是5，則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． AE=5
• B． ∠BOE=∠BCE
• C． CE⊥OB
• D． sin∠BOE=$\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 A、作輔助線，構(gòu)建矩形AGOF，利用面積為5，代入面積公式可求得AE的長為5，此說法正確；
B、證明∠ABC+∠EOC=180°，根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓得：E、B、C、O四點(diǎn)共圓，則∠BCE=∠BOE，此說法正確；
C、因?yàn)镋、B、C、O四點(diǎn)共圓，所以根據(jù)垂徑定理可知：要想OB⊥CE，得保證過圓心的直線平分弧，即判斷弦長BE和OE的大小即可；
D、利用同角的三角函數(shù)計(jì)算．

解答 解：A、過O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OA=OD，
∴AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，
∴四邊形AGOF是矩形，
∴OG=AF=2，
∵S_△AEO=$\frac{1}{2}$AE•OG=5，
∴AE=$\frac{10}{OG}$=$\frac{10}{2}$=5，
所以此選項(xiàng)的說法正確；
B、∵OE⊥AC，
∴∠EOC=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠EOC=180°，
∴E、B、C、O四點(diǎn)共圓，
∴∠BCE=∠BOE，
所以此選項(xiàng)的說法正確；
C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AB=3+5=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∴EO=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OE≠BE，
∵E、B、C、O四點(diǎn)共圓，
∵∠EOC=90°，
∴EC是直徑，
∴EC與OB不垂直；
此選項(xiàng)的說法不正確；
D、sin∠BOE=sin∠BCE=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{3}{5}$，
所以此選項(xiàng)的說法正確，
因?yàn)楸绢}選擇說法錯(cuò)誤的，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，較為麻煩，此類題相當(dāng)于解決四個(gè)問題，尤其是第三問利用了圓中的性質(zhì)進(jìn)行證明，比較容易理解；本題還利用了同角的三角函數(shù)求一個(gè)角的正弦，這在解直角三角形中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．