Question

11．在平面直角坐標系xOy中，A（-8，0），B（0，6），點D、E同時從A點出發，其中點D沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點E沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．
（1）AB的長為10；
（2）點D、E在運動過程中，以點E為圓心，ED為半徑的⊙E與直線AB有何位置關系？證明你的結論；
（3）設點C（m，0）為x軸正半軸上的一點，CF⊥直線AB，F為垂足．求t、m為何值時，以點E為圓心，ED為半徑的⊙E與y軸及直線CF都相切．

Answer 1

分析 （1）易證AO，BO的長，由勾股定理即可求出AB的長；
（2）以ED為半徑的⊙E與直線AB相切，易證△ADE∽△AOB，由相似三角形的性質可得：∠ADE=∠AOB=90°，進而可證明⊙E與直線AB相切；
（3）因為⊙E是動圓，所以當⊙E與y軸及直線CF都相切時有兩種情況：①當⊙E在y軸的左側與y軸相切；②當⊙E在y軸的右左側與y軸相切，再就兩種情況分別討論求出符合題意的t值即可．

解答 解：（1）∵A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
故答案為：10；
（2）始終相切，理由如下：
由題意得：AD=4t，AE=5t，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{4}{5}=\frac{AO}{AB}$，
又∵∠DAE=∠OAB，
∴△ADE∽△AOB，
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∵點D在AB上，
∴⊙E在運動過程中保持與AB相切；
（3）①當⊙E在y軸的左側與y軸相切時，如圖1，DE=OE，3t=8-5t，t=1，
此時，AE=5，AD=4，DE=3，
∵△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AF}$，
當⊙E在y軸及CF都相切時，DF=DE，
∴$\frac{5}{8+m}=\frac{4}{4+3}$
解得$m=\frac{3}{4}$；
②當⊙E在y軸的右左側與y軸相切時，如圖2，DE=OE，3t=5t-8，t=4，此時，AE=20，AD=16，DE=12，
∵△ADE∽△AOB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AF}$，
當⊙E在y軸及CF都相切時，DF=DE，
∴$\frac{20}{8+m}=\frac{16}{16+12}$，
解得m=27．
綜上可知當t=1、m=$\frac{3}{4}$或t=4、m=27時滿足題意．

點評 本題考查了和圓有關的綜合性題目，用到的知識點有切線的性質定理、切線的判定定理、相似三角形的判定和性質以及勾股定理的運用，正確運用數形結合思想與分類討論思想是解題的關鍵．