Question

16．已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，且關于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0沒有實數根，有下列結論：①b²-4ac＞0；②abc＜0；③m＜-3；④3a+b＞0．其中，正確結論的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據拋物線與x軸的交點個數對①進行判斷；由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸在y軸的右側得b＜0，由拋物線與y軸的交點在x軸下方得c＜0，則可對②進行判斷；由ax²+bx+c-m=0沒有實數根得到拋物線y=ax²+bx+c與直線y=m沒有公共點，加上二次函數的最想值為-3，則m＜-3，于是可對③進行判斷，由對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=1，得b=-2a，則2a+b=0，于是可對④進行判斷，

解答 解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b²-4ac＞0，所以①正確；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②錯誤；
∵ax²+bx+c-m=0沒有實數根，
即拋物線y=ax²+bx+c與直線y=m沒有公共點，
∵二次函數的最小值為-3，
∴m＜-3，所以③正確；
∵對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，
∵a＞0，
∴3a+b＞0，所以④正確．
故選C．

點評 本題考查了二次函數與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．