Question

1．如圖①，在平面直角坐標系中，直徑為2$\sqrt{3}$的⊙A經過坐標系原點O（0，0），與x軸交于點B，與y軸交于點C（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求點B的坐標；
（2）如圖②，過點B作⊙A的切線交直線OA于點P，求點P的坐標；
（3）過點P作⊙A的另一條切線PE，請直接寫出切點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）連接BC，根據圓周角定理得到BC是⊙A的直徑，根據勾股定理計算即可求出點B的坐標；
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，根據正切的定義求出∠OBC的度數，根據銳角三角函數的定義求出PD、OD，得到點P的坐標；
（3）根據切線長定理求出∠EPB=60°，證明PE∥OD，求出切點E的坐標．

解答 解：（1）如圖①，連接BC，
∵∠BOC=90°，
∴BC是⊙A的直徑，
∴$BC=2\sqrt{3}$，
∵$C（{0，\sqrt{3}}）$，
∴$OC=\sqrt{3}$．
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3，
∴B（3，0）；
（2）如圖②，過點P作PD⊥x軸于點D，
∵PB為⊙A的切線，
$C（{0，\sqrt{3}}）$，
∴$tan∠OBC=\frac{OC}{OB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴∠OBC=30°，
∴∠AOB=30°．
∴∠OPB=180°-∠POB-∠ABO-∠ABP=30°．
∴OB=BP=3，
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=60°，BP=3，
∴$BD=\frac{3}{2}$，$PD=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
∵OB=3，
∴$OD=OB+BD=\frac{9}{2}$．
∴$P（{\frac{9}{2}，\frac{3}{2}\sqrt{3}}）$；
（3）由（2）得，∠OPB=30°，
∵PE、PB是⊙A的切線，
∴∠EPA=∠OPB=30°，
∴∠EPB=60°，又∠PBD=60°，
∴PE∥OD，
∴$E（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}\sqrt{3}}）$．

點評 本題考查的是圓的知識的綜合運用，掌握圓周角定理、切線的性質定理以及銳角三角函數的定義是解題的關鍵，解答時，注意輔助線的作法和勾股定理的正確運用．