Question

13．定義：把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”．
如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點A，B，與y軸交于點D，以AB為直徑，在x軸上方作半圓交y軸于點C，半圓的圓心記為M，此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓”．
（1）直接寫出點A，B，C的坐標及“蛋圓”弦CD的長；
A（-1，0），B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$），CD=3+$\sqrt{3}$；
（2）如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．
①求經過點C的“蛋圓”切線的解析式；
②求經過點D的“蛋圓”切線的解析式；
（3）由（2）求得過點D的“蛋圓”切線與x軸交點記為E，點F是“蛋圓”上一動點，試問是否存在S_△CDE=S_△CDF，若存在請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）點P是“蛋圓”外一點，且滿足∠BPC=60°，當BP最大時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線與一元二次方程的關系以及勾股定理解答；
（2）運用待定系數法求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式；運用二元二次方程組、一元二次方程根的判別式求出過點D的“蛋圓”切線的解析式；
（3）根據題意求出點E的坐標，根據同底等高的兩個三角形面積相等解答；
（4）根據∠BPC=60°保持不變，點P在一圓弧上運動和直徑是最大的弦進行解答即可．

解答 解：（1）當y=0時，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
當x=0時，y=3，
∴A（-1，0），B（3，0），OD=3，
如圖1，連接MC，由題意得，OM=1，MC=2，
∴OC=$\sqrt{M{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$），CD=3+$\sqrt{3}$，
故答案為：（-1，0）；（3，0）；（0，$\sqrt{3}$）；3+$\sqrt{3}$；
（2）①如圖2，NC⊥CM，可求得N（-3，0），
∴經過點C的“蛋圓”切線的解析式為：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\sqrt{3}$，
②過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-3\\ y={x^2}-2x-3\end{array}\right.$，
得：x²-（2+k）x=0，
∵直線與拋物線只有一個交點，
∴k=-2，
∴經過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y=-2x-3．
（3）如圖3，∵經過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y=-2x-3，
∴E點坐標為（$-\frac{3}{2}$，0），
∵S_△CDE=S_△CDF，
∴F點的橫坐標為$\frac{3}{2}$，
在Rt△MQF₁中可求得F′Q=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，
把x=$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3，可求得y=$-\frac{15}{4}$．
∴F′（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$），F′′（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$）；
（4）如圖4，∵∠BPC=60°保持不變，
因此點P在一圓弧上運動．
此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC=120°），BK為半徑．
當BP為直徑時，BP最大．
在Rt△PCR中可求得PR=1，RC=$\sqrt{3}$．
所以點P的坐標為（1，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查的是圓與二次函數知識的綜合運用，正確理解“蛋圓”的概念、掌握圓周角定理、二次函數的圖象和性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵，解答時，注意輔助線的作法要正確．