Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點A在點（-1，0）和（0，0）之間（包括這兩點），頂點B是矩形CDEF上（包括邊界和內部）的一個動點，則a的取值范圍是$\frac{2}{25}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 頂點B是矩形CDEF上（包括邊界和內部）的一個動點，當頂點B與C點重合，可以知道頂點坐標為（2，-3）且拋物線過（-1，0），則它與x軸的另一個交點為（5，0），由此可求出a；當頂點B與D點重合，頂點坐標為（4，-3）且拋物線過（0，0），則它與x軸的另一個交點為（8，0），由此也可求a，然后由此可判斷a的取值范圍．

解答 解：頂點B是矩形CDEF上，
當頂點B與C點重合，頂點坐標為（2，-3），則拋物線解析式y=a（x-2）²-3，
由 $\left\{\begin{array}{l}{a（-1-2）^{2}-3≥0}\\{a（5-2）^{2}-3≤0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$，
當頂點B與E點重合，頂點坐標為（4，-2），則拋物線解析式y=a（x-4）²-2，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-4）^{2}-2≥0}\\{a（8-4）^{2}-2≤0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{2}{25}≤a≤\frac{1}{8}$，
∵頂點可以在矩形內部，
∴a的取值范圍是$\frac{2}{25}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{2}{25}$≤a≤$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了拋物線的解析式y=ax²+bx+c中a、b、c對拋物線的影響，在對于拋物線的頂點在所給圖形內進行運動的判定，充分利用了利用形數結合的方法，展開討論，加以解決．