Question

20．已知：拋物線y₁=x²+bx+3與x軸分別交于點A（-3，0），B（m，0）．將y₁向右平移4個單位得到y₂．
（1）求b的值；
（2）求拋物線y₂的表達式；
（3）拋物線y₂與y軸交于點D，與x軸交于點E、F（點E在點F的左側），記拋物線在D、F之間的部分為圖象G（包含D、F兩點），若直線y=kx+k-1與圖象G有一個公共點，請結合函數圖象，求直線y=kx+k-1與拋物線y₂的對稱軸交點的縱坐標t的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0）代入y₁=x²+bx+3求出b的值即可；
（2）將y₁變形化成頂點式得：y₁=（x+2）²-1，由平移的規律即可得出結果；
（3）求出拋物線y₂的對稱軸和頂點坐標，求出與坐標軸的交點坐標E（1，0），F（3，0），D（0，3），由題意得出直線y=kx+k-1過定點（-1，-1）得出當直線y=kx+k-1與圖象G有一個公共點時，t=-1，求出當直線y=kx+k-1過F（3，0）時和直線過D（0，3）時k的值，分別得出直線的解析式，得出t的值，再結合圖象即可得出結果．

解答 解：（1）把A（-3，0）代入y₁=x²+bx+3得：9-3b+3=0，
解得：b=4，
∴y₁的表達式為：y=x²+4x+3；
（2）將y₁變形得：y₁=（x+2）²-1
據題意y₂=（x+2-4）²-1=（x-2）²-1=x²-4x+3；
∴拋物線y₂的表達式為y=x²-4x+3；
（3）∵y₂=（x-2）²-1，
∴對稱軸是x=2，頂點為（2，-1）；
當y₂=0時，x=1或x=3，
∴E（1，0），F（3，0），D（0，3），
∵直線y=kx+k-1過定點（-1，-1）
當直線y=kx+k-1與圖象G有一個公共點時，t=-1，
當直線y=kx+k-1過F（3，0）時，3k+k-1=0，
解得：k=$\frac{1}{4}$，
∴直線解析式為y=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
把x=2代入=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，得：y=-$\frac{1}{4}$，
當直線過D（0，3）時，k-1=3，
解得：k=4，
∴直線解析式為y=4x+3，
把x=2代入y=4x+3得：y=11，即t=11，
∴結合圖象可知t=-1，或$\frac{1}{4}$＜t≤11．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象的平移、待定系數法求函數的解析式等知識；本題綜合性強，有一定難度，確定二次函數的解析式和拋物線與x軸的交點坐標是解決問題的關鍵．