Question

9．如圖1，△ABC和△DEF是兩塊可以完全重合的三角板，∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=∠DEF=30°，在如圖1所示的狀態下，△DEF固定不動，將△ABC沿直線n向左平移

（1）當△ABC移到圖2位置時連接AF，DC，求證：AF=DC；
（2）如圖3，在上述平移過程中，當點C與EF的中點重合時，直線n與AD有什么位置關系，請寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）先找出相等條件，利用三角形全等的判定定理得出三角形全等，從而對應邊相等得出結論．
（2）根據邊角關系得出四邊形ACDF為菱形，菱形的對角線互相垂直，證出結論．

解答 （1）證明：∵△ABC和△DEF是兩塊可以完全重合的三角板，
∴AB=DE，BC=EF，
又∵BF=BC-CF，EC=EF-CF，
∴BF=EC，
在△ABF和△DEC中，AB=DE，BF=EC，∠ABC=∠DEF，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=DC，
證畢．
（2）直線n與AD垂直，
證明：連接AD，如圖，
∵△ABC和△DEF是兩塊可以完全重合的三角板，且∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=∠DEF=30°，
∴∠ACB=∠DFE=60°，AC=DF，
∴AC∥DF，四邊形ACDF為平行四邊形，
在△DEF中，∠DFE=60°，∠DEF=30°，∠EDF=90°，且點C為線段EF的中點，
∴DC=CF=CE，
在△CDF中，DC=CF，∠DFE=60°，
∴△DCF為等邊三角形，DF=DC，
又∵四邊形ACDF為平行四邊形，
∴四邊形ACDF為菱形，
∴AD⊥CF，即AD⊥n，
證畢，
故直線n與AD垂直成立．

點評 本題考查了三角形的判定定理和菱形對角線互相垂直的性質，解題的關鍵是找對相等的邊角．