Question

18．已知關于x的一元二次方程x²-2x-m=0有兩個實數根．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）若方程的兩個實數根為x₁、x₂，且x₁•x₂=2m²-1，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）由根與系數的關系可以得到x₁•x₂=-m=2m²-1，據此即可求得m的值．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-2x-m=0有兩個實數根，
∴b²-4ac=4+4m≥0，
解得m≥-1；

（2）由根與系數的關系可知：x₁•x₂=-m，
∵x₁•x₂=2m²-1，
∴-m=2m²-1，
整理得：2m²+m-1=0，
解得：m=$\frac{1}{2}$或m=-1．
∵$\frac{1}{2}$，-1都在（1）所求m的取值范圍內，
∴所求m的值為$\frac{1}{2}$或-1．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
也考查了根與系數的關系．