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3.如圖,已知∠ABC=90°,△ABD是等邊三角形,點P為射線BC上任意一點(點P與點B不重合),連結(jié)AP,作∠PAE=60°,使AE=AP.連結(jié)ED并延長交射線BC于點F.

(1)如圖①,當點P運動到使AP在∠BAD內(nèi)部時,求∠ADE與∠EFC的度數(shù);
(2)如圖②,當點P運動到使AP在∠BAD外部時,圖中∠ADE與∠EFC的度數(shù)發(fā)生變化嗎?試說明理由.

分析 (1)只要證明△PAB≌△EAD,可得∠ADE=∠ABP,由∠ABC=90°,推出∠ADE=90°,在四邊形ABFD中,∠BFD=360°-∠BAD-∠ABF-∠ADF=120°,由此即可求出∠EFC.
(2)∠ADE與∠EFC的度數(shù)不發(fā)生變化.證明方法類似(1).

解答 解:(1)如圖①中,

∵△ABD是等邊三角形,
∴AB=AD,∠BAD=∠EAP=60°,
∴∠PAB=∠EAD,
在△PAB和△EAD中,
$\left\{\begin{array}{l}{PA=AE}\\{∠PAB=∠EAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△PAB≌△EAD,
∴∠ADE=∠ABP,
∵∠ABC=90°,
∴∠ADE=90°,
在四邊形ABFD中,∠BFD=360°-∠BAD-∠ABF-∠ADF=120°,
∴∠EFC=180°-∠BFD=60°.

(2)如圖②中,∠ADE與∠EFC的度數(shù)不發(fā)生變化,理由如下,

∵△ABD是等邊三角形,
∴AB=AD,∠BAD=∠EAP=60°,
∴∠PAB=∠EAD,
在△PAB和△EAD中,
$\left\{\begin{array}{l}{PA=AE}\\{∠PAB=∠EAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△PAB≌△EAD,
∴∠ADE=∠ABP,
∵∠ABC=90°,
∴∠ADE=90°,
在四邊形ABFD中,∠BFD=360°-∠BAD-∠ABF-∠ADF=120°,
∴∠EFC=180°-∠BFD=60°.

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題,屬于中考常考題型.

練習(xí)冊系列答案
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7.我們知道,任意一個大于1的正整數(shù)n都可以進行這樣的分解:n=p+q(p、q是正整數(shù),且p≤q),在n的所有這種分解中,如果p、q兩數(shù)的乘積最大,我們就稱p+q是n的最佳分解,并規(guī)定在最佳分解時:F(n)=pq.例如6可以分解成1+5,2+4,或3+3,因為1×5<2×4<3×3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3×3=9.
(1)求F(11)的值;
(2)一個正整數(shù),由N個數(shù)字組成,若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除,它的前兩位數(shù)被2除余1,前三位數(shù)被3除余2,前四位數(shù)被4除余3,…,一直到前N位數(shù)被N除余(N-1),我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù)”,如:236的第一位數(shù)2能被1整除,前兩位數(shù)23被2除余1,236被3除余2,則236是一個“多余數(shù)”.若一個小于200的三位“多余數(shù)”記為t,它的各位數(shù)字之和再加上1為一個完全平方數(shù),請求出所有“多余數(shù)”中F(t)的最大值.

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14.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,BC=2,CD=1,求AD的長.

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11.如圖,⊙C過原點,且與兩坐標軸分別交于點A、B,點A的坐標為(0,2),M為第三象限內(nèi)弧$\widehat{OB}$上一點,∠BMO=120°,則⊙C的半徑為2.

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18.如圖,△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分別在AB、BC、AC上,且∠B=∠DEF,BD=CE,求證:ED=EF.

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8.如圖,點M在等邊三角形ABC的BC邊上,延長BA至N,使AN=MC,連接MN交AC于點O,求證:OM=ON.

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15.如圖,某體育訓(xùn)練基地,有一塊邊長為(6m+5n)米的正方形土地,現(xiàn)準備在這塊正方形土地上修建一個長為(2m+3n)米,寬為(m+2n)米的長方形游泳池,剩余部分則全部修建成休息區(qū)域.(結(jié)果化簡)
(1)求休息區(qū)域的面積;
(2)為了滿足更多人需求,現(xiàn)要擴大游泳池,使游泳池的長增加(2m+n)米,寬增加(3m+n)米,正方形土地的面積不變,則擴大游泳池后休息區(qū)域的面積是多少?

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12.如圖,△ABC中,AD是△ABC的邊BC上的高,E、F分別是AB、AC的中點,AC=13、AB=20、BC=21.
(1)求四邊形AEDF的周長;
(2)求△ABC的面積.

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13.如圖,點E在△ABC外部,點D在BC邊上,DE交AC于點F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE.求證:
(1)∠C=∠E;
(2)AB=AD.

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