Question

7．我們知道，任意一個大于1的正整數n都可以進行這樣的分解：n=p+q（p、q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p、q兩數的乘積最大，我們就稱p+q是n的最佳分解，并規定在最佳分解時：F（n）=pq．例如6可以分解成1+5，2+4，或3+3，因為1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．
（1）求F（11）的值；
（2）一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數被2除余1，前三位數被3除余2，前四位數被4除余3，…，一直到前N位數被N除余（N-1），我們稱這樣的數為“多余數”，如：236的第一位數2能被1整除，前兩位數23被2除余1，236被3除余2，則236是一個“多余數”．若一個小于200的三位“多余數”記為t，它的各位數字之和再加上1為一個完全平方數，請求出所有“多余數”中F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）將11分解為1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，根據1×10＜2×9＜3×8＜4×7＜5×6即可求出F（11）的值；
（2）找出小于200且各位數字之和再加上1為一個完全平方數的數，再根據“多余數”的定義找出其中的最大數，重復（1）的操作，即可找出所有“多余數”中F（t）的最大值．

解答 解：（1）11可以分解成1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，
∵1×10＜2×9＜3×8＜4×7＜5×6，
∴F（11）=5×6=30．
（2）小于200且各位數字之和再加上1為一個完全平方數的數有：195、186、177、170、168、161、159、152、143、134、125、120、116、111、107、102，
其中最大的“多余數”為170，
170可以分為1+169、2+168、…、84+86、85+85，
∵1×169＜2×168＜…＜84×86＜85×85，
∴F（170）=85×85=7225，
∴所有“多余數”中F（t）的最大值為7225．

點評 本題考查了因式分解的應用以及有理數的計算，解題的關鍵：（1）熟讀題意，理解何為最佳分解；（2）找出符合題意得最大三位數．