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14.如圖,在Rt△ABC中,AB=AC=$\sqrt{2}$,∠BAC=90°,點(diǎn)D、E在線段BC上運(yùn)動(dòng),設(shè)BE=x,CD=y.下列結(jié)論中一定成立的是①③④.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))
①若BE=BA,CD=CA,則∠DAE=45°;
②若∠DAE=45°,則BE=BA,CD=CA;
③若∠DAE=45°,則xy=2;
④若xy=2,則∠DAE=45°.

分析 ①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到$∠BAE=∠CAD=\frac{1}{2}$(180°-45°)=67.5°,于是得到∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=45°,故①正確;
②由∠DAE=45°,得不到∠BAE等于∠BEA,于是得到BE不一定等于BA,同理CD不一定等于CA,故②錯(cuò)誤;
③由∠DAE=45°,得到∠B=∠DAE,推出△ABE∽△DAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{AE}$,同理$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AE}$,等量代換得到$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$,即$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$,求得xy=2;故③正確;
④由xy=2,得到$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$,即$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$,推出△ABE∽△ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠ADE,證得△ABE∽△ADE,于是得到∠DAE=∠B=45°,故④正確.

解答 解:①∵AB=AC=$\sqrt{2}$,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=45°,
∵BE=BA,CD=CA,
∴$∠BAE=∠CAD=\frac{1}{2}$(180°-45°)=67.5°,
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD-∠BAC=45°,故①正確;
②∵∠DAE=45°,
則∠BAE不一定等于∠BEA,
∴BE不一定等于BA,同理CD不一定等于CA,故②錯(cuò)誤;
③∵∠DAE=45°,
∴∠B=∠DAE,
∵∠BEA=∠DEA,
∴△ABE∽△DAE,
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AD}{AE}$,
同理$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AE}$,
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$,即$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$,
∴xy=2;故③正確;
④∵xy=2,
∴$\frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{y}{\sqrt{2}}$,
即$\frac{AB}{BE}=\frac{CD}{AC}$,
∵∠B=∠C,
∴△ABE∽△ACD,
∴∠BAE=∠ADE,
∵∠AED=∠AEB,
∴△ABE∽△ADE,
∴∠DAE=∠B=45°,故④正確,
故答案為:①③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.測(cè)量旗桿的高度
操作:在旗桿影子的頂部立一根標(biāo)桿,借助太陽(yáng)光線構(gòu)造相似三角形,旗桿AB的影長(zhǎng)BD=a米,標(biāo)桿高FD=m米,其影長(zhǎng)DE=b米,求AB.
分析:∵太陽(yáng)光線是平行的
∴∠ADB=∠FED
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∴△ABD∽△FDE
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①猜想:20062007>20072006;
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2.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于E.若BC=8,△AOE的面積為20,則sin∠BOE的值為$\frac{3}{5}$.

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19.如圖,一次函數(shù)y=-kx+n(k≠0)與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(k≠0)交于C、D兩點(diǎn),且C、D兩點(diǎn)分別是線段AB的三等分點(diǎn),若S△AOB=$\frac{9}{4}$,則n=(  )
A.-$\sqrt{2}$B.-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$C.-2$\sqrt{2}$D.-$\frac{5}{2}\sqrt{2}$

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6.如圖,a∥b,∠1=∠2,∠3=40°,則∠4等于70度.

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3.如圖,直線l1、l2、…l6是一組等距離的平行線,過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線,分別與直線l3,l6相交于點(diǎn)B、E、C、F.若BC=2,則EF的長(zhǎng)是( 。
A.4B.5C.6D.7

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4.如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,過點(diǎn)D作EF∥BC,與AB、AC分別相交于E、F.若已知AB=9,AC=7,BC=8,求△AEF的周長(zhǎng).

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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