Question

19．如圖，一次函數y=-kx+n（k≠0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于C、D兩點，且C、D兩點分別是線段AB的三等分點，若S_△AOB=$\frac{9}{4}$，則n=（　　）

• A． -$\sqrt{2}$
• B． -$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
• C． -2$\sqrt{2}$
• D． -$\frac{5}{2}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 令x=0，則y=-kx+n=n，令y=0，則0=-kx+n，即x=$\frac{n}{k}$，于是得到A（$\frac{n}{k}$，0），B（0，n），求得OA=$\frac{n}{k}$，OB=-n，根據三角形的面積列方程$\frac{1}{2}$×$\frac{n}{k}$（-n）=$\frac{9}{4}$，得到$\frac{n}{k}=\frac{9}{2n}$，于是得到（-$\frac{9}{2n}$，0），由于C、D兩點分別是線段AB的三等分點，得到C（-$\frac{3}{2n}$，$\frac{2n}{3}$）求得k=$\frac{3}{2n}$•$\frac{2n}{3}$=-1，得到△AOB是等腰直角三角形，即可得到結論．

解答 解：令x=0，則y=-kx+n=n，令y=0，則0=-kx+n，即x=$\frac{n}{k}$，
∴A（$\frac{n}{k}$，0），B（0，n），
∴OA=$\frac{n}{k}$，OB=-n，
∵S_△AOB=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}OA•OB=\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{n}{k}$（-n）=$\frac{9}{4}$，
∴k=$\frac{2}{9}{n}^{2}$，
∴$\frac{n}{k}=\frac{9}{2n}$，
∴A（-$\frac{9}{2n}$，0），
∵C、D兩點分別是線段AB的三等分點，
∴C（-$\frac{3}{2n}$，$\frac{2n}{3}$）
∴k=$\frac{3}{2n}$•$\frac{2n}{3}$=-1，
∴OA=-n，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$（-n）²=$\frac{9}{4}$，
∴-n=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴n=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故選B．

點評 此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．