Question

11．如圖，已知直線y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．
（1）求點A、C的坐標；
（2）將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知直線y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，即可求得A和C的坐標；
（2）根據題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點坐標，最后即可求出CD的解析式；
（3）將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的坐標．

解答 解：（1）令y=0，則-2x+8=0，解得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，則y=8，
∴C（0，8）；
（2）由折疊可知：CD=AD，
設AD=x，則CD=x，BD=8-x，
由題意得，（8-x）²+4²=x²，
解得x=5，
此時AD=5，
∴D（4，5），
設直線CD為y=kx+8，
把D（4，5）代入得5=4k+8，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+8；
（3）①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）
②當點P在第一象限時，如圖1，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD于點Q，
在Rt△ADP中，
AD=5，AP=BC=4，PD=BD=8-5=3，
由AD×PQ=DP×AP得：5PQ=3×4，
∴PQ=$\frac{12}{5}$，
∴x_P=4+$\frac{12}{5}$=$\frac{32}{5}$，把x=$\frac{32}{5}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+8得y=$\frac{16}{5}$，
此時P（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）
③當點P在第二象限時，如圖2，
同理可求得：PQ=$\frac{12}{5}$，
在RT△PCQ中，CQ=$\sqrt{P{C}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（{\frac{12}{5}）}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴OQ=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
此時P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），
綜上，滿足條件的點P有三個，分別為：（0，0），（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$），（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

點評 本題是一次函數的綜合題，主要考查了折疊的性質，一次函數圖象及其性質，待定系數法求一次函數的解析式，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定和性質，分類討論思想的運用是解題的關鍵．