Question

2．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，過點O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面積為20，則sin∠BOE的值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知，OE為對角線AC的中垂線，則CE=AE，S_△AEC=2S_△AOE=40，由S_△AEC求出線段AE的長度，進而在Rt△BCE中，由勾股定理求出線段BE的長度；然后證明∠BOE=∠BCE，從而可求得結果．

解答 解：如圖，

連接EC．
由題意可得，OE為對角線AC的垂直平分線，
∴CE=AE，S_△AOE=S_△COE=5，
∴S_△AEC=2S_△AOE=20．
∴$\frac{1}{2}$AE•BC=20，又BC=8，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=3．
∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°-∠OBC=90°-（∠BCE+∠ECO）
∴∠BOE+[90°-（∠BCE+∠ECO）]+∠EAO=90°，
化簡得：∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0，
∵OE為AC中垂線，
∴∠EAO=∠ECO．
代入上式得：∠BOE=∠BCE．
∴sin∠BOE=sin∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 此題考查矩形性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理、三角函數的定義等知識點；解題要抓住兩個關鍵：（1）求出線段AE的長度；（2）證明∠BOE=∠BCE．