Question

7．如圖，線段AB的長為$30\sqrt{2}$，點D在AB上，△ACD是邊長為15的等邊三角形，過點D作與CD垂直的射線DP，過DP上一動點G（不與D重合）作矩形CDGH，記矩形CDGH的對角線交點為O，連接OB，則線段BO的最小值為（　�。�

• A． $15\sqrt{2}$
• B． 15
• C． $30\sqrt{2}$
• D． 30

Answer 1

分析 根據題意可以知道當BO與DP垂直時，BO取得最小值，此時BO的長度等于BD•sin∠PDB與CD的一半的和，本題得以解決．

解答 解：如果，作射線MO⊥CD，則點M為CD的中點，
由題意可得，點O為矩形CDGH的中點，所以無論G在射線DP上如何變化，O點的運動軌跡在CD的中垂線上，即O點在射線MO上．
∵DP⊥CD，
∴MO∥DP
線段BO的最小值為B到射線MO的最小距離，所以當BO⊥DP時，BO取得最小值，
∵△ACD是邊長為15的等邊三角形，四邊形CDGH是矩形，
∴∠PDB=180°-60°-90°=30°，線段AB的長為$30\sqrt{2}$，
∴BD=AB-AD=30$\sqrt{2}-15$，
∴BO的最小值是：BD•sin30°+$\frac{15}{2}$=（30$\sqrt{2}$-15）×$\frac{1}{2}$+$\frac{15}{2}$=15$\sqrt{2}$，
故選A．

點評 本題考查矩形的性質、線段的垂直平分線的性質和含30°角的直角三角形，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．