Question

12．如圖①，已知直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點D，與直線y=$\frac{3}{4}$x交于點E，過點D作DC∥x軸，交直線y=$\frac{3}{4}$x于點C．過點C作CB∥AD交x軸于點B．（1）點C的坐標是（4，3）；
（2）以線段AD的中點M為圓心作⊙M，當⊙M與直線CE相切時，求⊙M的半徑；
（3）如圖②，點P從點O出發，沿線段OC向終點C運動，點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動．若P、Q兩點同時出發，速度均為1單位長度/s，時間為ts，當點Q到達終點時，P、Q兩點均停止運動．在點P、Q的運動過程中，將線段PQ繞點P沿順時針方向旋轉90°后，設點Q的對應點為R．當點R落在四邊形ABCD一邊所在的直線上時，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據DC∥x軸可得到點C的縱坐標等于點D的縱坐標，只需求出點D的坐標，就可得到點C的縱坐標，然后把點C的縱坐標代入直線CE的表達式，就可求出點C的坐標；
（2）設⊙M與直線CE的切點為H，連接MH，M0，根據圓的切線的性質可得MH⊥CE．過點M作x軸的垂線交x軸于N，交直線DC于G，如圖1，只需運用面積法就可解決問題；
（3）過點P作x軸的垂線，交DC于S，交過點R垂直于y軸的直線于T，如圖2．設R點的坐標為（x，y），由題意可得到點P、Q的坐標（用t的代數式表示），易證△QSP≌△PTR，則有SQ=PT，PS=RT，由此可得到點R的坐標（用t的代數式表示），然后只需對點R分別在四邊形ABCD四邊所在的直線上進行討論，就可解決問題．

解答 解：（1）當x=0時，y=3x+3=3，故D（0，3）．
∵DC∥x軸，∴y_C=y_D=3．
∵點C在直線y=$\frac{3}{4}$x上，
∴3=$\frac{3}{4}$x_C，
∴x_C=4，
∴C（4，3）．
故答案為（4，3）；

（2）設⊙M與直線CE的切點為H，連接MH，M0，則有MH⊥CE．
過點M作x軸的垂線交x軸于N，交直線DC于G，如圖1，

由直線y=3x+3可得點A（-1，0），OA=1，
∴AD的中點M坐標為（$\frac{-1+0}{2}$，$\frac{0+3}{2}$）即（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴MN=$\frac{3}{2}$，MG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∵S_△OMC=S_梯形OADC-S_△OAM-S_△MDC，
∴$\frac{1}{2}$OC•MH=$\frac{1}{2}$（DC+OA）•OD-$\frac{1}{2}$OA•MN-$\frac{1}{2}$DC•MG，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$•MH=$\frac{1}{2}$（4+1）×3-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$，
∴MH=$\frac{3}{2}$，
∴⊙M的半徑為$\frac{3}{2}$；

（3）t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{35}{12}$．
提示：過點P作x軸的垂線，交DC于S，交過點R垂直于y軸的直線于T，如圖2．

設R點的坐標為（x，y），
由題可得CQ=OP=t，則有P（$\frac{4t}{5}$，$\frac{3t}{5}$），Q（4-t，3），
易證△QSP≌△PTR，則有SQ=PT，PS=RT，
∴4-t-$\frac{4t}{5}$=$\frac{3t}{5}$-y，3-$\frac{3t}{5}$=x-$\frac{4t}{5}$，
∴y=$\frac{12t}{5}$-4，x=$\frac{t}{5}$+3，
∴R點的坐標為（$\frac{t}{5}$+3，$\frac{12t}{5}$-4）．
①當點R在直線AB上時，$\frac{12t}{5}$-4=0，解得t=$\frac{5}{3}$；
②當點R在直線BC上時，
由BC∥AD可設y=3x+b，把點C（4，3）代入可得b=-9，
∴直線BC的表達式為y=3x-9，
∴$\frac{12t}{5}$-4=3（$\frac{t}{5}$+3）-9，
解得t=$\frac{20}{9}$；
③當點R在直線DC上時，$\frac{12t}{5}$-4=3，解得t=$\frac{35}{12}$；
④當點R在直線AD上時，
可得$\frac{12t}{5}$-4=3（$\frac{t}{5}$+3）+3，
解得t=$\frac{80}{9}$．
由題可得0≤t≤4，
∵$\frac{80}{9}$＞4，∴舍去．
綜上所述：t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{35}{12}$．

點評 本題主要考查了圓的切線的性質、用待定系數法求直線的解析式、直線上點的坐標特征、三角形全等的判定與性質等知識，在解決問題的過程中用到了分類討論、面積法、待定系數法等重要的數學思想方法，應熟練掌握，當然第（2）小題也可通過三角形相似來求圓的半徑，而通過構造三角形全等得到點R的坐標則是解決第（3）小題的關鍵．