Question

9．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，E是AC的中點，過E作EF⊥AB于D，交⊙O于F，交AC于M，則下列結論：①AM=ME；②DE=$\frac{1}{2}$AC；③DM=$\frac{1}{2}$EM；④OD=$\frac{1}{2}$BC，其中正確結論的序號是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 連接AE、OE，OE交AC于N，由垂徑定理得出$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，DE=DF=$\frac{1}{2}$EF，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，得出$\widehat{AE}=\widehat{CE}=\widehat{AF}$，因此∠MEA=∠MAE，$\widehat{AC}=\widehat{EF}$，得出AM=ME，①正確，AC=EF，得出DE=$\frac{1}{2}$AC，②正確；證出ON是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出ON=$\frac{1}{2}$BC，得出OD=$\frac{1}{2}$BC，④正確；即可得出結果．

解答 解：連接AE、OE，OE交AC于N，如圖所示：
∵E是AC的中點，EF⊥AB于D，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CE}$，$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，DE=DF=$\frac{1}{2}$EF，AN=CN=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CE}=\widehat{AF}$，
∴∠MEA=∠MAE，$\widehat{AC}=\widehat{EF}$，
∴AM=ME，①正確，AC=EF，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，②正確，OD=ON，
∵OA=OB，
∴ON是△ABC的中位線，
∴ON=$\frac{1}{2}$BC，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，④正確；
由題意不能得出DM=$\frac{1}{2}$EM；
正確的是①②④；故選：D．

點評 本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握垂徑定理是解決問題的關鍵．