分析 (1)先判斷出△ABD∽△ACF,進而判斷出AD=BD,再用解直角三角形的方法即可得出BD;
(2)先表示出CF,進而表示出MC,即可得出函數(shù)關(guān)系式;
(3)分兩種情況列出方程求解即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,cot∠BAC=$\frac{3}{4}$,
∴AC=6,AB=10,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠FAC=∠DAB,
∵∠ACF=∠B,
∴△ABD∽△ACF,
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{BD}{CF}$,
在Rt△ABC中,點F恰好是AE的中點,
∴CF=$\frac{1}{2}$AE=AF,
∴AD=BD,
在Rt△ACD中,AC=6,CD=BC-BD=BC-AD=8-AD,
根據(jù)勾股定理得,AC2+CD2=AD2,
∴36+(8-AD)2=AD2,
∴AD=$\frac{25}{4}$,
∴BD=AD=$\frac{25}{4}$,
(2)如圖1,過點F作FM⊥AC于M,
由(1)知,∴$\frac{AD}{AF}=\frac{BD}{CF}$=$\frac{AB}{AC}$,
∴CF=$\frac{AC}{AB}•BD$=$\frac{6}{10}$×x=$\frac{3}{5}$x,
由(1)△ABD∽△ACF,
∴∠B=∠ACF,
∴tan∠ACF=tanB=$\frac{1}{cot∠BAC}$=$\frac{4}{3}$=$\frac{FM}{MC}$,
∴MC=$\frac{12}{25}$x,
∴y=$\frac{AF}{EF}=\frac{AM}{MC}$=$\frac{6-\frac{12}{25}x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{25-2x}{2x}$(0<x<8)
(3)∵△ADE是以AD為腰的等腰三角形,
∴①當(dāng)AD=AE時,
∴∠AED=∠ADE,
∵∠ACD=90°,
∴∠EAC=∠DAC=∠DAB,
∴AD是∠BAC的平分線,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,
∵AC=6,AB=10,CD=8-BD,
∴$\frac{6}{10}=\frac{8-BD}{BD}$,
∴BD=5,
當(dāng)AD=DE時,
∴∠DAE=∠DEA=∠BAC,
∴∠ADE=2∠B,
∴∠B=∠DAB,
∴AD=BD=$\frac{25}{4}$(是(1)的那種情況).
即:BD=5或BD=$\frac{25}{4}$時,△ADE是以AD為腰的等腰三角形.
點評 此題是三角形綜合題,主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),解直角三角形,角平分線定理,等腰三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是△ABD∽△ACF.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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A. | -5 | B. | 5 | C. | 0 | D. | 1 |
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