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20.已知,如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,cot∠BAC=$\frac{3}{4}$,點D在邊BC上(不與點B、C重合),點E在邊BC的延長線上,∠DAE=∠BAC,點F在線段AE上,∠ACF=∠B.設(shè)BD=x.

(1)若點F恰好是AE的中點,求線段BD的長;
(2)若y=$\frac{AF}{EF}$,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(3)當(dāng)△ADE是以AD為腰的等腰三角形時,求線段BD的長.

分析 (1)先判斷出△ABD∽△ACF,進而判斷出AD=BD,再用解直角三角形的方法即可得出BD;
(2)先表示出CF,進而表示出MC,即可得出函數(shù)關(guān)系式;
(3)分兩種情況列出方程求解即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,cot∠BAC=$\frac{3}{4}$,
∴AC=6,AB=10,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠FAC=∠DAB,
∵∠ACF=∠B,
∴△ABD∽△ACF,
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{BD}{CF}$,
在Rt△ABC中,點F恰好是AE的中點,
∴CF=$\frac{1}{2}$AE=AF,
∴AD=BD,
在Rt△ACD中,AC=6,CD=BC-BD=BC-AD=8-AD,
根據(jù)勾股定理得,AC2+CD2=AD2
∴36+(8-AD)2=AD2
∴AD=$\frac{25}{4}$,
∴BD=AD=$\frac{25}{4}$,
(2)如圖1,過點F作FM⊥AC于M,
由(1)知,∴$\frac{AD}{AF}=\frac{BD}{CF}$=$\frac{AB}{AC}$,
∴CF=$\frac{AC}{AB}•BD$=$\frac{6}{10}$×x=$\frac{3}{5}$x,
由(1)△ABD∽△ACF,
∴∠B=∠ACF,
∴tan∠ACF=tanB=$\frac{1}{cot∠BAC}$=$\frac{4}{3}$=$\frac{FM}{MC}$,
∴MC=$\frac{12}{25}$x,
∴y=$\frac{AF}{EF}=\frac{AM}{MC}$=$\frac{6-\frac{12}{25}x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{25-2x}{2x}$(0<x<8)
(3)∵△ADE是以AD為腰的等腰三角形,
∴①當(dāng)AD=AE時,
∴∠AED=∠ADE,
∵∠ACD=90°,
∴∠EAC=∠DAC=∠DAB,
∴AD是∠BAC的平分線,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,
∵AC=6,AB=10,CD=8-BD,
∴$\frac{6}{10}=\frac{8-BD}{BD}$,
∴BD=5,
當(dāng)AD=DE時,
∴∠DAE=∠DEA=∠BAC,
∴∠ADE=2∠B,
∴∠B=∠DAB,
∴AD=BD=$\frac{25}{4}$(是(1)的那種情況).
即:BD=5或BD=$\frac{25}{4}$時,△ADE是以AD為腰的等腰三角形.

點評 此題是三角形綜合題,主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),解直角三角形,角平分線定理,等腰三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是△ABD∽△ACF.

練習(xí)冊系列答案
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A(m,0)、B(0,n)且|m-n-4|+$\sqrt{2n-8}$=0,點P從A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動,設(shè)點P運動時間為t秒.
(1)求OA、OB的長;
(2)連接PB,若△POB的面積不大于4且不等于0,求t的范圍;
(3)過P作直線AB的垂線,垂足為C,直線PC與y軸交于點D,在點P運動的過程中,是否存在這樣的點P,使△DOP≌△AOB?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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(2)根據(jù)圖象寫出當(dāng)y1>y2時,x的取值范圍.
(3)若一次函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點N、M,則求出△AON的面積.

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