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6.(1)問題背景:如圖①,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=60°,直接寫出EF,BE,DF之間的數量關系.
(2)探索延伸:如圖②,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,上述結論是否仍然成立?說明理由;
(3)實際應用:如圖③,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以80海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進.1.5小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處,且兩艦艇之間的夾角為70°(即:∠EOF=70°),試求此時兩艦艇之間的距離.

分析 (1)延長FD到點G,使DG=BE,連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,進而得出結論EF=BE+DF;
(2)延長FD到點G,使DG=BE,連結AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可得出結論EF=BE+DF;
(3)連接EF,延長AE、BF相交于點C,然后根據(2)中的方法可得兩艦艇之間的距離.

解答 解:(1)EF=BE+DF.
理由:如圖1,延長FD到點G,使DG=BE,連結AG,
∵∠B=∠ADC=90°,
∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE\\;}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=60°,∠BAD=120°,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°,
∴∠EAF=∠GAF=60°,
在△AEF和△GAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF,
∴EF=BE+DF;

(2)結論EF=BE+DF仍然成立.
理由:如圖2,延長FD到點G,使DG=BE,連結AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;

(3)如圖3,連接EF,延長AE、BF相交于點C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合(2)中的條件,即結論EF=AE+BF成立,
∴EF=1.5×(100+80)=270(海里).
答:此時兩艦艇之間的距離是270海里.

點評 本題屬于四邊形綜合題,主要考查的是全等三角形的判定和性質,掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵,解題時需要正確作出輔助線,構造全等三角形,根據全等三角形的對應邊相等進行求解.

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