Question

6．（1）問題背景：如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，直接寫出EF，BE，DF之間的數量關系．
（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結論是否仍然成立？說明理由；
（3）實際應用：如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以80海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進．1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°（即：∠EOF=70°），試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 （1）延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，進而得出結論EF=BE+DF；
（2）延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可得出結論EF=BE+DF；
（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后根據（2）中的方法可得兩艦艇之間的距離．

解答 解：（1）EF=BE+DF．
理由：如圖1，延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，
∵∠B=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE\\;}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）結論EF=BE+DF仍然成立．
理由：如圖2，延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（3）如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合（2）中的條件，即結論EF=AE+BF成立，
∴EF=1.5×（100+80）=270（海里）．
答：此時兩艦艇之間的距離是270海里．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，解題時需要正確作出輔助線，構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等進行求解．