Question

3．如圖，直線y=-2x+7與x軸、y軸分別相交于點C、B，與直線y=$\frac{3}{2}$x相交于點A．
（1）求A點坐標；
（2）如果在y軸上存在一點P，使△OAP是以OA為底邊的等腰三角形，則P點坐標是（0，$\frac{13}{6}$）；
（3）在直線y=-2x+7上是否存在點Q，使△OAQ的面積等于6？若存在，請求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯立方程，解方程即可求得；
（2）設P點坐標是（0，y），根據勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分兩種情況：①當Q點在線段AB上：作QD⊥y軸于點D，則QD=x，根據S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ列出關于x的方程解方程求得即可；②當Q點在AC的延長線上時，作QD⊥x軸于點D，則QD=-y，根據S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC列出關于y的方程解方程求得即可．

解答 解：（1）解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+7}\\{y=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$
∴A點坐標是（2，3）；
（2）設P點坐標是（0，y），
∵△OAP是以OA為底邊的等腰三角形，
∴OP=PA，
∴2²+（3-y）²=y²，
解得y=$\frac{13}{6}$，
∴P點坐標是（0，$\frac{13}{6}$），
故答案為（0，$\frac{13}{6}$）；
（3）存在；
由直線y=-2x+7可知B（0，7），C（$\frac{7}{2}$，0），
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×3=$\frac{21}{4}$＜6，S_△AOB=$\frac{1}{2}$×7×2=7＞6，
∴Q點有兩個位置：Q在線段AB上和AC的延長線上，設點Q的坐標是（x，y），
當Q點在線段AB上：作QD⊥y軸于點D，如圖①，則QD=x，
∴S_△OBQ=S_△OAB-S_△OAQ=7-6=1，
∴$\frac{1}{2}$OB•QD=1，即$\frac{1}{2}$×7x=1，
∴x=$\frac{2}{7}$，
把x=$\frac{2}{7}$代入y=-2x+7，得y=$\frac{45}{7}$，
∴Q的坐標是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$），
當Q點在AC的延長線上時，作QD⊥x軸于點D，如圖②則QD=-y，
∴S_△OCQ=S_△OAQ-S_△OAC=6-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•QD=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×（-y）=$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{7}$，
把y=-$\frac{3}{7}$代入y=-2x+7，解得x=$\frac{26}{7}$，
∴Q的坐標是（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$），
綜上所述：點Q是坐標是（$\frac{2}{7}$，$\frac{45}{7}$）或（$\frac{26}{7}$，-$\frac{3}{7}$）．

點評 本題是一次函數的綜合題，考查了交點的求法，勾股定理的應用，三角形面積的求法等，分類討論思想的運用是解題的關鍵．