Question

11．如圖，已知直線AB與正比例函數y=kx（k≠0）的圖象交于點A（5，5），與x軸交于點B（-$\frac{5}{2}$，0）．點P為直線OA上的動點，點P的橫坐標為t，以點P為頂點，作矩形PDEF，滿足PD∥x軸，且PD=1，PF=2．

（1）求k值及直線AB的函數表達式；并判定t=1時點E是否落在直線AB上，請說明理由；
（2）在點P運動的過程中，當點F落在直線AB上時，求t的值；
（3）在點P運動的過程中，若矩形PDEF與直線AB有公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法即可求得k值及直線AB的函數表達式，然后根據題意求得E的坐標，當然直線AB的解析式即可判斷E在直線AB上；
（2）根據直線OA的解析式得出P的坐標，根據題意求得F的坐標，當然直線AB的解析式，即可求得t的值；
（3）表示出D的坐標，代入直線AB的解析式，求得t的值，再結合（1）即可求得矩形PDEF與直線AB有公共點時的t的取值范圍．

解答 解：（1）∵直線AB與正比例函數y=kx（k≠0）的圖象交于點A（5，5），與x軸交于點B（-$\frac{5}{2}$，0）．
設直線AB的解析式為y=mx+n，
∴5=5k，$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=5}\\{-\frac{5}{2}m+n=0}\end{array}\right.$，
解得k=1，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
∵點P為直線OA上的動點，點P的橫坐標為t=1，
∴E（2，3），
把x=2，y=3代入y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$中成立，
∴點E落在直線AB上；
（2）∵點P為直線OA上，∴P（t，t），
∴F（t，t+2），
把F（t，t+2）代入y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$中得t+2=$\frac{2}{3}$t+$\frac{5}{3}$，解得t=-1；
（3）∵P（t，t），
∴D（t+1，t），把D（t+1，t）代入y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$中得t=$\frac{2}{3}$（t+1）+$\frac{5}{3}$，解得t=7，
∴若矩形PDEF與直線AB有公共點，t的取值范圍為-1≤t≤7．

點評 本題是一次函數的綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式，圖象上點的坐標特征，矩形的性質等，根據題意表示出D、E、F點的坐標是解題的關鍵．