Question

1．在平面直角坐標系xOy中，定義點P（x，y）的變換點為P′（x+y，x-y）．
（1）如圖1，如果⊙O的半徑為$2\sqrt{2}$，
①請你判斷M（2，0），N（-2，-1）兩個點的變換點與⊙O的位置關系；
②若點P在直線y=x+2上，點P的變換點P′在⊙O的內，求點P橫坐標的取值范圍．
（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點P′在直線y=-2x+6上，求點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據新定義得到點M的變換點M′的坐標為（2，2），于是根據勾股定理計算出OM′=2$\sqrt{2}$，則根據點與圓的位置關系的判定方法可判斷點M的變換點在⊙O上；同樣方法可判斷點N（-2，-1）的變換點在⊙O外
②利用一次函數圖象上點的坐標特征，設P點坐標為（x，x+2），利用新定義得到P點的變換點為P′的坐標為（2x+2，-2），則根據勾股定理計算出OP′=$\sqrt{（2x+2）^{2}+（-2）^{2}}$，然后利用點與圓的位置關系得到$\sqrt{（2x+2）^{2}+（-2）^{2}}$＜2$\sqrt{2}$，解不等式得-2＜x＜0；
（2）設點P′的坐標為（x，-2x+6），P（m，n），根據新定義得到m+n=x，m-n=-2x+6，消去x得3m+n=6，則n=-3m+6，于是得到P點坐標為（m，-3m+6），則可判斷點P在直線y=-3x+6上，設直線y=-3x+6與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理計算出AB=2$\sqrt{10}$，再利用面積法計算出OH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，所以CH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$-1，當點P在H點時，PC為點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

解答 解：（1）①M（2，0）的變換點M′的坐標為（2，2），則OM′=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，所以點M（2，0）的變換點在⊙O上；
N（-2，-1）的變換點N′的坐標為（-3，-1），則ON′=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$＞2$\sqrt{2}$，所以點N（-2，-1）的變換點在⊙O外；
②設P點坐標為（x，x+2），則P點的變換點為P′的坐標為（2x+2，-2），則OP′=$\sqrt{（2x+2）^{2}+（-2）^{2}}$，
∵點P′在⊙O的內，
∴$\sqrt{（2x+2）^{2}+（-2）^{2}}$＜2$\sqrt{2}$，
∴（2x+2）²＜4，即（x+1）²＜1，
∴-1＜x+1＜1，解得-2＜x＜0，
即點P橫坐標的取值范圍為-2＜x＜0；
（2）設點P′的坐標為（x，-2x+6），P（m，n），
根據題意得m+n=x，m-n=-2x+6，
∴3m+n=6，
即n=-3m+6，
∴P點坐標為（m，-3m+6），
∴點P在直線y=-3x+6上，
設直線y=-3x+6與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，
則A（2，0），B（0，6），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$OH•AB=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OH=$\frac{2×6}{2\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴CH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$-1，
即點P與⊙O上任意一點距離的最小值為$\frac{3\sqrt{10}}{5}$-1．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握點與圓的位置關系和一次函數圖象上點的坐標特征；會運用勾股定理定理和面積法計算線段的長；提高閱讀理解能力．