Question

6．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$
（1）請用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$來表示$\overrightarrow{DE}$；
（2）在原圖中求作向量$\overrightarrow{DE}$在$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$方向上的分向量．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC證△ADE∽△ABC得$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，即AE=$\frac{1}{3}$AC，繼而可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），根據$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{AE}$可得答案；
（2）過點E作EM∥DA、EN∥DC，根據平行四邊形法則即可得．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=$\frac{1}{3}$AC，
∵$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
則$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；

（2）如圖，過點E作EM∥DA交DC于M，作EN∥DC交DA于點N，

則$\overrightarrow{DM}$、$\overrightarrow{DN}$是向量$\overrightarrow{DE}$在$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$方向上的分向量．

點評 此題考查了平面向量的知識以及平行四邊形的性質．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應用是解此題的關鍵．