Question

14．已知拋物線y=x²+（1-2k）x-2k．
（1）求證：不論k為任何實數(shù)時，該拋物線與x軸總有交點；
（2）若拋物線y=x²+（1-2k）x-2k與x軸兩個交點坐標分別為A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂且AB=3，求k的值．
（3）若k＞0，若拋物線y=x²+（1-2k）x-2k與x軸兩個交點坐標分別為A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，頂點為C，與y軸的交點為D，若AC⊥BD，試求k的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明判別式△≥即可證得；
（2）利用一元二次方程根據(jù)的判別式，則|x₁-x₂|=3，據(jù)此列方程求解即可；
（3）令y=0，則x²+（1-2k）x-2k=0，解得x₁=-1，x₂=2k，得到A（-1，0），B（2k，0），求得C（$\frac{2k-1}{2}$，-$\frac{（2k+1）^{2}}{4}$），D（0，-2k），得到直線AC的解析式為y=-$\frac{2k+1}{2}$x-$\frac{2k+1}{2}$，直線BD的解析式為y=x-2k，由于AC⊥BD，得到兩直線的斜率=-1，如何列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）令y=0，則x²+（1-2k）x-2k=0，
△=（1-2k）²-4×1×（-2k）=4k²+4k+1=（2k+1）²≥0，
∴不論k為任何實數(shù)時，該拋物線與x軸總有交點；
（2）令y=0，則x²+（1-2k）x-2k=0，x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=-2k，
∵AB=|x₁-x₂|=3，
∴（x₁-x₂）²=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，
∴（2k-1）²+8k=9，
解得k₁=1，k₂=-2．
則當(dāng)k¹=1，k²=-2時，△＞0，符合題意，
∴k₁=1，k₂=-2；
（3）令y=0，則x²+（1-2k）x-2k=0，
解得：x₁=-1，x₂=2k，
∴A（-1，0），B（2k，0），
∵頂點為C，與y軸的交點為D，
∴C（$\frac{2k-1}{2}$，-$\frac{（2k+1）^{2}}{4}$），D（0，-2k），
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{2k+1}{2}$x-$\frac{2k+1}{2}$，
直線BD的解析式為y=x-2k，
∵AC⊥BD，
∴-$\frac{2k+1}{2}$×1=-1，
解得：k=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點的判斷，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．