Question

6．（1）如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點O． 

①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；
②求∠BOC的度數
③如圖2，∠BOC=90°；如圖3，∠BOC=72°；
（2）如圖4，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長相交于點O．∠BOC=$\frac{360°}{n}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）①根據等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質得∠DAC=∠BAE，根據SAS得出△ABE≌△ADC即可；
②先根據△ABE≌△ADC，得出∠ABE=∠ADC，再根據∠BOC是△BOD的外角，得到∠BOC=∠ODB+∠DBA+∠ABE，據此進行計算即可；
③運用①中方法，得出△ABE≌△ADC，再根據②中方法，即可求得∠BOC的度數；
（2）根據圖1中，∠BOC=120°=$\frac{360°}{3}$；圖2中，∠BOC=90°=$\frac{360°}{4}$；圖3中，∠BOC=72°=$\frac{360°}{5}$；以此類推找出規律，即可得出圖4中當作正n邊形時，∠BOC=$\frac{360°}{n}$．

解答 解：（1）①如圖1，∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，且∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS）；

②如圖1，∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠BOC是△BOD的外角，
∴∠BOC=∠ODB+∠DBA+∠ABE
=∠ADC+∠ODB+∠DBA
=∠ADB+∠DBA
=60°+60°
=120°；

③如圖2，∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
同理可得△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
根據三角形內角和可得，∠BOD=∠BAD=90°，
∴∠BOC=∠90°；
如圖3，同理可得△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
根據三角形內角和可得，∠BOD=∠BAD=72°，
∴∠BOC=72°，
故答案為：90°，72°；

（2）由題可得，
圖1中，∠BOC=120°=$\frac{360°}{3}$；
圖2中，∠BOC=90°=$\frac{360°}{4}$；
圖3中，∠BOC=72°=$\frac{360°}{5}$；
以此類推，圖4中，當作正n邊形時，∠BOC=$\frac{360°}{n}$．
故答案為：$\frac{360°}{n}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形、正四邊形等圖形的性質，解決問題的關鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩個三角形全等，運用了類比的思想方法，同時還要熟練掌握正n邊形每一個內角的求法，并根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和得出結論．