Question

17．如圖，已知在⊙O中，弦AB=CD，延長AB到E，延長CD到F，使BE=DF，求證：EF的垂直平分線經過點O．

Answer 1

分析 過點O作OG⊥CF于點G，OH⊥AE于點H，由垂徑定理和勾股定理可知OH=OG，OE=OF，然后利用勾股定理證明OE=OF，由等腰三角形的性質可知EF的垂直平分線必過O點．

解答 解：過點O作OG⊥CF于點G，OH⊥AE于點H，連接OF、OE，
∴由垂徑定理可知：BH=$\frac{1}{2}$AB，DG=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD，
∴BH=DG，
∵OD=OB，
∴由勾股定理可知：OG²=OH²，
∵BE=DF，
∴BE+BH=DF+DG，
∴EH=FG，
∴在Rt△OEH與Rt△OFG中，
由勾股定理可知：OE²=OF²，
∴OE=OF，
∴△OFE是等腰三角形，
∴由等腰三角形的三線合一可知：EF的垂直平分線過O點．

點評 本題考查垂徑定理，涉及勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是證明△OEF是等腰三角形，然后利用三線合一說明EF的垂直平分線經過點O，本題屬于基礎題型．