Question

5．如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM．PN．
求證：（1）$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$；
（2）當∠ABC=45°時，BN=$\sqrt{2}$PC；
（3）△PMN為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）證明△AMB∽△ANC，根據相似三角形的性質證明；
（2）根據直角三角形的性質得到PB=PN=PC，根據等腰直角三角形的判定和性質解答；
（3）根據直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半證明．

解答 證明：（1）∵BM⊥AC，CN⊥AB，∠A=∠A，
∴△AMB∽△ANC，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AC}$；
（2）∵CN⊥AB，P為BC邊的中點，
∴PB=PN=PC，
∵∠ABC=45°，
∴∠BPN=90°，
∴BN=$\sqrt{2}$PN，又PN=PC，
∴BN=$\sqrt{2}$PC；
（3）∵CN⊥AB，P為BC邊的中點，
∴PN=$\frac{1}{2}$BC，
∵BM⊥AC，P為BC邊的中點，
∴PM=$\frac{1}{2}$BC，
∴PM=PN，
∴△PMN為等腰三角形．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．