Question

20．如圖，已知一次函數y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與正比例函數y=$\sqrt{3}$x的圖象交于點C，點D是線段OB上的一個動點（不包含O、B兩點），以AD為邊在其一側作等邊三角形ADE，DE交AB于F，AD交OC于G．
（1）分別求出A、B、C點的坐標；
（2）求證：△ADF和△ACG是否相似，為什么？
（3）證明CE總與AB垂直．

Answer 1

分析 （1）對于一次函數y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，令x=0，得y=2$\sqrt{3}$，令y=0得x=2，即可求出A、B兩點坐標，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$解方程組即可求得點C坐標．
（2）只要證明△AOC是等邊三角形，可得∠ACG=∠ADF=60°，由此即可證明．
（3）連接EC，只要證明△OAD≌△CAE，可得∠AOD=∠ACE=90°，由此即可證明．

解答 （1）解：對于一次函數y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，令x=0，得y=2$\sqrt{3}$，
令y=0得x=2，
∴A（2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點C坐標為（1，$\sqrt{3}$）．

（2）解：結論：△ADF∽△ACG．
理由：∵C（1，$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴OC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，AC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴OC=AC=OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠ACG=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ACG=∠ADF，∵∠CAG=∠DAF，
∴△ADF∽△ACG．

（3）證明：連接EC，
∵△AOC，△ADE都是等邊三角形，
∴AO=AC，AD=AE，∠OAC=∠DAE，
∴∠OAD=∠CAE，
在△OAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AC}\\{∠OAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△CAE（ASA），
∴∠AOD=∠ACE=90°，
∴EC⊥AB．

點評 本題考查相似三角形綜合題、一次函數的應用、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會利用方程組求兩個函數的交點坐標，本題的突破點是證明△AOC是等邊三角形．