Question

4．已知：如圖，⊙O中的弦AB與弦CD交于點P，點M、N分別是AB、CD的中點，$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，求證：△PMN是等腰三角形．

Answer 1

分析 連結OM，ON，OA，OD，根據等弧對等弦得AB=CD，根據垂徑定理得AM=DN，在Rt△OMA和Rt△OND中，根據勾股定理得到OM=ON，根據等腰三角形的性質和角的和差關系得到∠PMN=∠PNM，根據等腰三角形的判定即可求解．

解答 證明：連結OM，ON，OA，OD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∵點M、N分別是AB、CD的中點，
∴∠OMA=∠OMP=90°，∠OND=∠ONP=90°，AM=$\frac{1}{2}$AB，DN=$\frac{1}{2}$CD，
∴AM=DN，
∵OA=OD，
在Rt△OMA和Rt△OND中，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$，ON=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形．

點評 此題考查了圓心角、弧、弦的關系，等腰三角形的判定，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，關鍵是證明OM=ON．