Question

3．如圖，正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，過AD作DF∥AE交BC的延長線于點F，過點C作CG⊥DF于點G．延長AE、GC交于點H，點P是線段DG上的一點，連接CP，將△CPG沿CP翻折得到△CPG′，連接AG′，若CH=1，DH=3$\sqrt{2}$，則AG′長度的最小值是$\sqrt{26}$-2．

Answer 1

分析 如圖，作DM⊥AE于M，首先證明四邊形DMHG是正方形，求出正方形DMHG的邊長，以及AC的長，因為點P在線段DG上運動時，點G′在以C為圓心，CG為半徑的圓上運動，所以當A、G′、C共線時，AG′最�。�由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作DM⊥AE于M．

∵AH∥DF，GH⊥DF，
∴∠MHG=∠HGD=∠DMH=90°，
∴四邊形DMHG是矩形，
∵∠ADC=∠MDG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
在△ADM和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠DGC}\\{∠ADM=∠CDG}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDG（AAS），
∴DM=DG，
∴四邊形DMHG是正方形，
∵DH=3$\sqrt{2}$，
∴DM=MH=GH=DG=3，
∵CH=1，
∴CG=HG-HC=2，
在Rt△DCG中，CD=$\sqrt{D{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AC=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{26}$，
∵點P在線段DG上運動時，點G′在以C為圓心，CG為半徑的圓上運動，
∴當A、G′、C共線時，AG′最小，
∴AG′的最小值為AC-CG′=$\sqrt{26}$-2．
故答案為$\sqrt{26}$-2．

點評 本題考查翻折變換、正方形的判定和性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、圓的有關知識，解題的關鍵是學會常用輔助線的作法，構造全等三角形解決問題，學會求圓外一點到圓上的點的距離的最大值以及最小值，屬于中考填空題中的壓軸題．