Question

1．課本上有這樣一道題目：
如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，且CE=CA．
（1）求∠DAE的度數；
（2）如果把題目中“AB=AC”的條件舍去，其余條件不變，那么∠DAE的度數是否改變嗎，并說明理由；
（3）如果把題目中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數量關系，并說明理由？

Answer 1

分析 （1）由于AB=AC，∠BAC=90°，從而求出∠B=∠ACB=45°，又因為BD=BA，可知∠BAD=∠BDA=67.5°，因為CE=CA，可知∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，最后可求出得∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°．
（2）可設∠CAE=x，從而可知∠E=x，∠ACB=2x，∠B=90°-∠ACB=90°-2x，然后可求出∠BAD=∠BDA=x+45°，∠BAE=90°+x，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45°，
（3）可設∠CAE=x，∠BAD=y，則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，從而可知∠BAE=2y-x，∠DAE=y-x，∠BAC=2y-2x，所以可知∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=67.5°，
∵CE=CA
∴∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°，
（2）不改變
設∠CAE=x，則∠E=x，∠ACB=2x，
∵∠B=90°-∠ACB=90°-2x，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=x+45°，
∠BAE=180°-∠B-∠E=90°+x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45°，
（3）∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
理由：設∠CAE=x，∠BAD=y，
則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，

點評 本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是根據等腰三角形的性質分別求出各角的度數，然后利用度數計算的方法求出∠DAE與∠BAC的關系，本題屬于中等題型．