Question

2．如圖在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{5}{x}^{2}$+bx+c過點A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），這條拋物線的對稱軸與x軸交于點C，點P為射線CB上一個動點（不與點C重合），射線PC繞點P逆時針旋轉120°，得線段PE，作平行四邊形PCDE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①若點P的橫坐標為m，?PCDE的面積為S，求S與m之間的函數關系式；
     ②連接OE，試求線段OE的最小值；
（3）點E在拋物線上時，試求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；
（2）①由條件可得四邊形PCDE為菱形，由拋物線的解析式求出對稱軸為x=3，得到C點坐標（3，0），在Rt△OBC中，利用正切函數的定義得出tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是∠OCB=30°，過點P作PQ⊥x軸于點Q，PG∥x軸，交CD于點G，求出CP=$\frac{2\sqrt{3}（3-m）}{3}$=CD，PG=CQ=3-m，然后根據S_△PCDE=PC•PG即可求出S與m之間的函數關系式；②如圖2中，延長CE交y軸于點H．首先證明∠OCH=60°，根據垂線段最短，當OE⊥OH時，OE最短，只要求出直線CE、OE是解析式解方程組即可解決問題．
（3）由（2）可知E（m，-$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），把點E坐標代入y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$，解方程即可．

解答 解：（1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{5}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{6\sqrt{3}}{5}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$．

（2）①如圖1中，作PQ⊥OC于Q，PG⊥CD于G．

∵拋物線的對稱軸x=-$\frac{b}{2a}$=3，
∴OC=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCO=30°，
∵∠CPE=120°，PE∥CD，
∴∠PCD=60°，
∴∠DCO=90°，
∵四邊形PEDC是平行四邊形，PE=PC，
∴四邊形PEDC是菱形，
∵直線BC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），
∴PC=CD=2PQ=2（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），CQ=PG=3-m，
∴S=CD•PG=2（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）•（3-m）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（m-3）²．

②如圖2中，延長CE交y軸于點H．

由①可知，四邊形PEDC是菱形，∠PCD=60°，
∴∠ECP=30°，
∴∠OCH=60°，
在Rt△OCH中，∵OC=3，∠OCH=60°，
∴OH=OC•tan60°=3$\sqrt{3}$，
∴H（0，3$\sqrt{3}$），
∴直線CE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∴根據垂線段最短，當OE⊥OH時，OE最短，
∵過點O垂直OH的直線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∴OE的最小值=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

（3）由（2）可知E（m，-$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），
把點E坐標代入y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$，
得到-$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m²-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$m+$\sqrt{3}$，
m=$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$（舍棄），
∴E（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{123}}{2}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到運用待定系數法求拋物線的解析式，二次函數的性質，正切函數的定義，菱形的判定與性質，三角形的面積，直角三角形的性質，綜合性較強，有一定難度．根據垂線段最短得出OE的最小值是解決（2）②的關鍵，屬于中考壓軸題．