Question

3．復習課中，教師給關于x的函數直線l：y=mx+n-1，教師：請獨立思考，并把探索發現的與該函數有關的結論（性質）寫到黑板上，學生思考后，黑板上出現了一些結論，教師作為活動一員，又補充一些結論，并從中選擇如下四條：
①當n=5，m=-$\frac{4}{3}$時，原點到l的距離為3；
②當m=-1時，直線l與直線l₁：y=2x+4的交點在第二象限，則n的范圍為-1≤n≤5；
③當m=n時，直線l經過定點（1，-1）；
④當m=n＜0時，直線1與x軸交于A點，OA的長度始終大于1．
教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由．

Answer 1

分析 ①根據直線解析式求得直線與坐標軸的交點，進而運用面積法求得原點到l的距離；
②當m=-1時，直線l為y=-x+n-1，求得與y軸交于（0，n-1），再根據l與直線l₁的交點在第二象限，即可得出n-1的范圍是-2＜n-1＜4，進而得到n的范圍；
③當m=n時，直線l為y=mx+m-1，求得當x=-1時，y=-m+m-1=-1，進而得到直線l經過定點（-1，-1）；
④當m=n＜0時，直線l與x軸交于負半軸上的A點，求得當y=0時，0=mx+n-1，解得x=$\frac{1-n}{m}$，進而得到當m=n時，x=$\frac{1}{m}$-1，再根據m＜0，得到$\frac{1}{m}$-1＜-1，即點A離原點的距離大于1，即可得出OA的長度始終大于1．

解答 解：①當n=5，m=-$\frac{4}{3}$時，直線l為：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴直線l與坐標軸分別交于（3，0）和（0，4），
∴原點到l的距離為$\frac{12}{5}$，故結論①錯誤；
②當m=-1時，直線l為y=-x+n-1，與y軸交于（0，n-1），
直線l₁：y=2x+4與坐標軸交于（-2，0），（0，4），
∵l與直線l₁的交點在第二象限，
∴n-1的范圍是：-2＜n-1＜4，
∴n的范圍為-1＜n＜5，故結論②錯誤；
③當m=n時，直線l為y=mx+m-1，
∴當x=-1時，y=-m+m-1=-1，
∴直線l經過定點（-1，-1），故結論③錯誤；
④當m=n＜0時，直線1經過第二三四象限，
∴直線l與x軸交于負半軸上的A點，
∴當y=0時，0=mx+n-1，
解得x=$\frac{1-n}{m}$，
當m=n時，x=$\frac{1}{m}$-1，
又∵m＜0，
∴$\frac{1}{m}$-1＜-1，即點A離原點的距離大于1，
∴OA的長度始終大于1，故結論④正確．
綜上所述，①②③錯誤，④正確．

點評 本題屬于兩直線相交或平行的問題，解決問題的關鍵是掌握一次函數的圖象與性質，解題時注意：一次函數y=kx+b（k≠0，且k，b為常數）的圖象是一條直線，與x軸的交點坐標是（-$\frac{b}{k}$，0），與y軸的交點坐標是（0，b）．