Question

18．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．
恒成立的結論有①②③④⑤．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析 證明①可先證明△ACD≌△BCE，已有：AB=BC，CD=CE，易得∠ACD=∠BCE，其他的證明需要通過①得到，再利用三角形相似以及等邊三角形的知識分別進行證明即可得出答案．

解答 解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①正確；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，進而可求證△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正確；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故⑤正確；
∴∠AOE=120°，
∵∠PBO=∠PAC，∠BOP=∠PCA，
∴△BPO∽△APC，
∴$\frac{PB}{AP}$=$\frac{OP}{PC}$，
∴$\frac{PB}{OP}$=$\frac{AP}{PC}$，∵∠APB=∠CPO，
∴△APB∽△CPO，
∴∠COP=∠ABP=60°，
∴∠COA=∠COB=60°，故④正確，
故正確的有①②③④⑤，
故答案為①②③④⑤．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，熟練應用三角形全等的證明以及相似三角形的判定是正確解答本題的關鍵．