Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 首先過點C作CE⊥AD于點E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的長，又由直角三角形斜邊上的高等于兩直角邊乘積除以斜邊，即可求得CE的長，由勾股定理求得AE的長，然后由垂徑定理求得AD的長．

解答 解：過點C作CE⊥AD于點E，
則AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴AD=2AE=$\frac{18}{5}$，
故答案為$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．