Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的⊙O與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在⊙O上，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q．點(diǎn)N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)（N不與A重合 ），將點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)P．PQ與x軸所夾銳角為α．
（1）如圖1，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，則α=60°；
（2）若點(diǎn)M、點(diǎn)Q的位置如圖2所示，請(qǐng)?jiān)趚軸上任取一點(diǎn)N，畫(huà)出直線PQ，并求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)圓周角定理可求出∠MAP、∠AQP，再根據(jù)∠MAQ可依次求出∠PAQ，∠APQ；
（2）連接MQ，交x軸于E，連接PQ，交x軸于F，連接PM，如圖2，由題可得：△MAQ和△MNP均為等邊三角形，由此可證到△AMN≌△QMP，則有∠MAN=∠MQP．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，從而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）；

解答 解：（1）如圖1，

∵∠MOP=60°，
∴∠MAP=30°．
∵∠MAQ=60°，
∴∠QAP=30°．
∵AP是⊙O的直徑，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=60°，
即α=60°．
故答案為60；

（2）連接MQ，交x軸于E，連接PQ，交x軸于F，連接PM，如圖2．

∵點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q．
∴△MAQ為等邊三角形，
∵點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)P，
∴△MNP為等邊三角形，
∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60°，
∴∠AMN=∠QMP．
在△AMN和△QMP中，$\left\{\begin{array}{l}{MA=MQ}\\{∠AMN=∠QMP}\\{MQ=MP}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△QMP（SAS），
∴∠MAN=∠MQP．
∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ，∠AEQ=∠MQP+∠AFQ，
∴∠AFQ=∠AMQ=60°，
∴α的度數(shù)為60°．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，判斷出△AMN≌△QMP（SAS）是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的中考常考題．