Question

16．如圖，AA′，BB′，CC′相交于點O，且A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，OB=3OB′，判斷△ABC的面積與△A′B′C′的面積有什么關系？

Answer 1

分析 結論：S_△ABC=9•S_{△A′B′C′}．只要證明$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{1}{3}$，推出△ABC∽△A′B′C′，推出$\frac{{S}_{△A′B′C′}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，即可證明．

解答 解：S_△ABC=9•S_{△A′B′C′}．
理由：∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，OB=3OB′，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{OA′}{OA}$=$\frac{OB′}{OB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{OB′}{OB}$，$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{OA′}{OA}$，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{A′C′}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴$\frac{{S}_{△A′B′C′}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴S_△ABC=9•S_{△A′B′C′}．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．