Question

18．已知點M（x，y）是一次函數y=$\frac{1}{2}$x+1圖象上的一點，點A（-1，2），點B（-7，2）．
（1）求|AM|+|BM|的最小值，及取得最小值時點M的坐標；
（2）當|AM|+|BM|取得最小值時，求△ABM的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖，作點A關于直線y=$\frac{1}{2}$x+1的對稱點C，連接BC交直線y=$\frac{1}{2}$x+1于M，此時|AM|+|BM|的值最小，最小值為BC的長．求出點C的坐標，再求出直線BC的解析式，解方程組可得點M坐標．
（2）利用三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）如圖，作點A關于直線y=$\frac{1}{2}$x+1的對稱點C，連接BC交直線y=$\frac{1}{2}$x+1于M，此時|AM|+|BM|的值最小，最小值為BC的長．

∵直線AC的解析式為y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴N（-$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∵A（-1，2），AN=CN，B（-7，2）
∴C（$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴點M坐標（-$\frac{8}{5}$，$\frac{1}{5}$），最小值為BC=$\sqrt{（-2-\frac{1}{5}）^{2}+（7+\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1490}}{5}$

（2）當|AM|+|BM|取得最小值時，△ABM的面積=$\frac{1}{2}$•6•（2-$\frac{1}{5}$）=$\frac{27}{5}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、一次函數圖象上的點的特征，三角形的面積公式，兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是學會求點關于直線的對稱點的坐標，屬于中考常考題型．