Question

6．如圖1，AD為正△ABC的高．
（1）利用此圖形填表：

	30°	60°
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tan	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$

（2）利用（1）題中結論，計算：（$\frac{1}{2}$）^-1-3tan60°+$\sqrt{27}$
（3）利用（1）題中結論解答：如圖2，直線l：y=$\sqrt{3}$x與x軸所夾的銳角為α，直線l上點A的橫坐標為1，求∠α．

Answer 1

分析 （1）設△ABC的邊長為2a，如圖1，根據等邊三角形的性質得到∠BAD=30°，BD=a，再利用勾股定理計算出AD=$\sqrt{3}$a，然后根據銳角三角函數的定義求30°和60°的銳角三角函數值；
（2）根據負整數指數冪和特殊角的三角函數值得到原式=2-3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$，然后合并即可；
（3）作AB⊥x軸于B，如圖2，利用一次函數圖象上點的坐標特征求出A（1，$\sqrt{3}$），則OB=1，AB=$\sqrt{3}$，再計算出∠α的正切值，然后根據特殊角的三角函數值得到∠α的度數．

解答 解：（1）設△ABC的邊長為2a，如圖1，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，BD=a，
∴AD=$\sqrt{（2a）^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴sin∠BAD=sin30°=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{a}{2a}$=$\frac{1}{2}$，則cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$；
cos∠BAD=cos30°=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則sinB=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
tan∠BAD=tan30°=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則tanB=tan60°=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$；
故答案為$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$；（從左向右排列）
（2）原式=2-3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$
=2；
（3）作AB⊥x軸于B，如圖2，
當x=1時，y=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，則A（1，$\sqrt{3}$），
∴OB=1，AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，tanα=$\frac{AB}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠α=60°．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關鍵是靈活應用勾股定理和銳角函數的定義．