Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點F是對角線BD上的一點，EF∥AB交AD于點E，FG∥BC交DC于點G，四邊形EFGP是平行四邊形，給出如下結論：
①四邊形EFGP是菱形；
②△PED為等腰三角形；
③若∠ABD=90°，則△EFP≌△GPD；
④若四邊形FPDG也是平行四邊形，則BC∥AD且∠CDA=60°．
其中正確的結論的序號是①③④（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①根據平行線分線段成比例定理得出$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FG}{BC}$，即可證得EF=FG，從而證得四邊形EFGP是菱形；
②因為無法證得△PDG是等邊三角形，所以PD不一定等于PE，則△PED不一定是等腰三角形；
③證PG⊥BD，根據等腰三角形“三線合一”的性質，求得∠FGP=∠DGP，進而求得∠DGP=∠PEF，然后根據SAS可證△EFP≌△GPD；
④由FG∥PE，FG∥PD知，點P在AD上，故BC∥AD．又由FG=PG=PD=DG．證得△PDG是等邊三角形，故∠CDA=60度．因此四邊形ABCD還應滿足BC∥AD，∠CDA=60°

解答 解：∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{DB}$，
∵FG∥BC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{DF}{DB}$，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{FG}{BC}$，
∵AB=BC，
∴EF=EG，
∵四邊形EFGP是平行四邊形，
∴四邊形EFGP是菱形，故①正確；
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∵FG∥BC，
∴∠DBC=∠DFG，
∴∠DFG=∠BDC，
∴FG=DG，
∵PG=FG=PE，
∴PG=DG，
∵無法證得△PDG是等邊三角形，
∴PD不一定等于PE，
∴△PED不一定是等腰三角形，故②錯誤；
∵∠ABD=90°，PG∥EF，
∴PG⊥BD，
∵FG=DG，
∴∠FGP=∠DGP．
∵四邊形EFGP是平行四邊形，
∴∠PEF=∠FGP．
∴∠DGP=∠PEF．
在△EFP和△GPD中
$\left\{\begin{array}{l}{EF=PG}\\{∠PEF=∠PGD}\\{PE=DG}\end{array}\right.$
∴△EFP≌△GPD（SAS）．故③正確；
∵四邊形FPDG也是平行四邊形，
∴FG∥PD，
∵FG∥EP，
∴E、P、D在一條直線上，
∵FG∥BC∥PE，
∴BC∥AD，
∵四邊形FPDG也是平行四邊形，
∵FG=PD，
∵FG=DG=PG，
∴PG=PD=DG，
∴△PGD是等邊三角形，
∴∠CDA=60°．
∴四邊形ABCD還應滿足BC∥AD，∠CDA=60°．故④正確．
故答案為①③④．

點評 此題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質、菱形的判定、等腰三角形的判定和性質以及全等三角形的判定與性質．熟練掌握性質定理是解題的關鍵．